રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના એક નમૂનાનું દળ $m$,ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને મોલર દળ $M$ છે. જો એવોગેડ્રો અચળાંક $N_A$ હોય,તો નમૂનાની પ્રારંભિક એક્ટિવિટી કેટલી હશે?

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp(\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એ ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| \ll 1$ માટે,$\ln(1+x) \approx x$ એ $x$ ની પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?

બે રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ $P$ અને $Q$ ના અર્ધ-આયુષ્ય અનુક્રમે $10 \text{ મિનિટ}$ અને $15 \text{ મિનિટ}$ છે. દરેક આઇસોટોપના તાજા તૈયાર કરેલા નમૂનાઓમાં શરૂઆતમાં સમાન સંખ્યામાં પરમાણુઓ છે. $30 \text{ મિનિટ}$ પછી,$\frac{P \text{ ના પરમાણુઓની સંખ્યા}}{Q \text{ ના પરમાણુઓની સંખ્યા}}$ નો ગુણોત્તર કેટલો હશે?

એક રેડિયો આઇસોટોપનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $75\, \text{years}$ છે. $150\, \text{years}$ માં આ પદાર્થના કેટલા ટકા અણુઓનું ક્ષય (decay) થશે?...........$\%$

સમય $t$ માં ક્ષય પામેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અંશ $f$,સમય $t$ સાથે બદલાય છે. સાચો ફેરફાર કયા વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે?

$Rn$ એ $4 \text{ days}$ ના અર્ધ-આયુષ્ય સાથે $\alpha$-કણનું ઉત્સર્જન કરીને $Po$ માં ક્ષય પામે છે. એક નમૂનામાં $Rn$ ના $6.4 \times 10^{10}$ પરમાણુઓ છે. $12 \text{ days}$ પછી,નમૂનામાં બાકી રહેલા $Rn$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા કેટલી હશે?